LeetCode 470题的要求是使用一个已有的rand7()函数来实现一个rand10()函数。rand7()函数可以等概率地生成1到7之间的整数，而我们需要设计一个rand10()函数来等概率地生成1到10之间的整数。

思路分析

直接使用rand7()生成1到10之间的数是有挑战的，因为7和10不是倍数关系。我们可以通过以下步骤来实现：

1. 扩展范围：首先，我们可以通过调用两次rand7()来生成一个更大的范围。具体来说，我们可以生成一个1到49的均匀分布。
   • 设x = rand7()，y = rand7()，则可以构造一个数z = (x - 1) * 7 + y，这样z的范围是1到49。
2. 拒绝采样：由于我们需要的是1到10的数，我们可以利用1到49的范围，但需要排除掉一些数。具体来说，如果生成的数在1到40之间，我们可以利用这个数来生成1到10的数；如果生成的数在41到49之间，则重新生成。
3. 映射到1到10：对于在1到40之间的数，我们可以通过取模操作将其映射到1到10。具体来说，z % 10 + 1就可以得到一个1到10之间的数。

代码实现

以下是具体的代码实现：

def rand7():

pass

    x = rand7()
    y = rand7()
    z = (x - 1) * 7 + y

    # 如果z在1到40之间，则接受这个数
    if z <= 40:
        return z % 10 + 1

    # 如果z在41到49之间，重新生成
    # 这里可以进一步优化，利用41到49之间的数来减少重新生成的概率
    # 但为了简单起见，我们直接重新生成

详细解释

1. 生成1到49的数：
   • x = rand7()生成1到7之间的数。
   • y = rand7()生成1到7之间的数。
   • z = (x - 1) * 7 + y将x和y组合成一个1到49之间的数。这里(x - 1) * 7将x映射到0, 7, 14, 21, 28, 35, 42，再加上y（1到7），得到1到49。
2. 拒绝采样：
   • 如果z在1到40之间，我们接受这个数。
   • 如果z在41到49之间，我们重新生成，因为这部分数不能均匀映射到1到10。
3. 映射到1到10：
   • 对于接受的数z，通过z % 10 + 1将其映射到1到10。

时间复杂度

虽然这个方法在最坏情况下可能需要多次调用rand7()，但其期望时间复杂度是常数时间，因为每次重新生成的概率是逐渐减小的。

空间复杂度

这个方法的空间复杂度是O(1)，因为只需要常数级别的额外空间。

通过这种方法，我们成功地将rand7()转换为rand10()，确保了生成的数的均匀性和随机性。