Sightseeing trip,POJ,1734

好的，您提到的“Sightseeing trip”是POJ（北京大学在线评测系统）上的一个编程题目，编号为1734。这个题目通常被称为“观光旅行”或“旅行路线优化”问题。下面我会详细解释这个题目的背景、要求以及常见的解题思路。

题目背景

题目描述的是一个旅行者想要参观若干个城市，每个城市之间有旅行费用。旅行者希望找到一条从起点城市出发，经过所有城市一次且仅一次，最后回到起点城市的路线，使得总旅行费用最小。这就是著名的旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）。

题目要求

1. 输入：第一行是城市数量 ( n )（( 2 \leq n \leq 20 )），接下来是一个 ( n \times n ) 的矩阵，表示城市之间的旅行费用。矩阵中的 ( a[i][j] ) 表示从城市 ( i ) 到城市 ( j ) 的费用。
2. 输出：输出最小旅行费用的路线和总费用。

解题思路

由于题目中的城市数量 ( n ) 最大为20，可以使用动态规划加状态压缩的方法来求解。具体步骤如下：

1. 状态表示：
   • 用一个整数 ( state ) 表示当前已经访问过的城市集合，其中 ( state ) 的第 ( i ) 位为1表示已经访问过城市 ( i )。
   • 用 ( dp[state][i] ) 表示当前在 city ( i )，并且已经访问过集合 ( state ) 中的城市时的最小旅行费用。
2. 状态转移：
   • 初始状态：( dp[1][0] = 0 )，表示从城市0出发，初始费用为0。
   • 状态转移方程： [ dp[state][i] = \min_{j \in state \text{ 且 } j \neq i} { dp[state \text{ XOR } (1 << i)][j] + cost[j][i] } ] 其中 ( cost[j][i] ) 是从城市 ( j ) 到城市 ( i ) 的旅行费用。
3. 求解结果：
   • 最终结果为 ( dp[(1 << n) - 1][0] )，表示访问过所有城市并回到起点城市0的最小费用。

代码示例（C++）

#include #include #include #include using namespace std;

memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
dp[1][0] = 0;

for (int state = 1; state < (1 << n); ++state) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (state & (1 << i)) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (state & (1 << j) && i != j) {
                    dp[state][i] = min(dp[state][i], dp[state ^ (1 << i)][j] + cost[j][i]);
                }
            }
        }
    }
}

cout << dp[(1 << n) - 1][0] << endl;

return 0;

}

注意事项

1. 状态压缩：使用位运算来表示和操作城市集合。
2. 初始化：确保初始状态正确设置。
3. 边界条件：注意处理城市间不可达的情况（通常用较大数值表示不可达）。

通过上述方法和代码，可以有效地解决这个旅行商问题。希望这个详细的解释对您有所帮助！如果有更多问题，欢迎继续提问。