Arbitrage,POJ,2240

题目 “Arbitrage” 是一道经典的算法问题，通常出现在编程竞赛中，比如 POJ（北京大学在线评测系统）上的题目编号 2240。这个问题主要涉及图论中的最短路径算法，具体是利用贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）来解决货币兑换中的套利问题。

题目描述

给定一些货币和它们之间的兑换率，要求判断是否存在一种套利机会，即通过一系列的货币兑换，最终能够获得比初始更多的货币。

输入

• 第一行包含一个整数 N（1 ≤ N ≤ 20），表示货币的种类数。
• 接下来的行包含货币的兑换率。每行包含三个实数 r, a, b，表示 1 单位的货币 a 可以兑换 r 单位的货币 b。

输出

• 如果存在套利机会，输出 “Yes”。
• 否则，输出 “No”。

解题思路

1. 图论建模：
   • 将每种货币看作图中的一个节点。
   • 将每种兑换关系看作图中的有向边，边的权重为 -log(r)。之所以取对数的负值，是因为我们要找的是负权重环，即通过一系列兑换最终获得的货币比初始多。
2. 贝尔曼-福特算法：
   • 使用贝尔曼-福特算法来检测图中是否存在负权重环。
   • 如果存在负权重环，则说明存在套利机会。

具体步骤

1. 输入处理：
   • 读取货币种类数 N。
   • 读取并存储所有兑换率信息。
2. 构建图：
   • 初始化图的邻接表。
   • 根据输入的兑换率信息，填充邻接表，边的权重为 -log(r)。
3. 贝尔曼-福特算法：
   • 初始化距离数组 dist，所有节点的距离设为 0（因为我们关心的是是否存在负权重环）。
   • 进行 N-1 次松弛操作。
   • 检查是否存在负权重环，即再进行一次松弛操作，如果还能更新距离，则存在负权重环。
4. 输出结果：
   • 如果检测到负权重环，输出 “Yes”。
   • 否则，输出 “No”。

代码示例（C++）

#include #include #include #include

// 进行 N-1 次松弛
for (int i = 0; i < N - 1; ++i) {
    for (int u = 0; u < N; ++u) {
        for (auto &edge : adj[u]) {
            int v = edge.first;
            double weight = edge.second;
            if (dist[u] + weight < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + weight;
            }
        }
    }
}

// 检查负权重环
for (int u = 0; u < N; ++u) {
    for (auto &edge : adj[u]) {
        int v = edge.first;
        double weight = edge.second;
        if (dist[u] + weight < dist[v]) {
            return true; // 存在负权重环
        }
    }
}

return false;

for (int i = 0; i < N; ++i) {
    cin >> r >> a >> b;
    --a; --b;
    adj[a].push_back({b, -log(r)});
}

if (bellman_ford()) {
    cout << "Yes" << endl;
} else {
    cout << "No" << endl;
}

return 0;

}

注意事项

• 精度问题：由于涉及浮点数的对数运算，需要注意精度问题，可以使用 long double 或 double 并设置合适的精度。
• 输入输出格式：确保输入输出格式与题目要求一致。

通过上述步骤和代码示例，可以有效地解决 POJ 2240 Arbitrage 问题。希望这个详细的解答对你有所帮助！如果有更多问题，欢迎继续提问。