Shortest Path,POJ,2449

POJ 2449: “Radar Installation” 是一个经典的图论问题，主要涉及到最短路径的求解。这个问题可以描述为：给定一个无向图，要求找到从起点到终点的最短路径，并且这个路径必须经过若干个特定的点。

问题分析

1. 输入描述：
   • 第一行包含两个整数 N 和 M，分别表示图中点的数量和边的数量。
   • 接下来的 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示从点 u 到点 v 有一条边，权重为 w。
   • 最后一行包含两个整数 s 和 t，分别表示起点和终点。
2. 输出描述：
   • 输出从起点 s 到终点 t 的最短路径长度。

解题思路

这个问题可以通过以下几种算法来解决：

1. Dijkstra 算法：
   • Dijkstra 算法适用于单源最短路径问题，即从一个固定起点到所有其他点的最短路径。
   • 可以使用优先队列（最小堆）优化时间复杂度。
2. Floyd-Warshall 算法：
   • Floyd-Warshall 算法适用于多源最短路径问题，即任意两点之间的最短路径。
   • 时间复杂度为 (O(N^3))，适用于点数较少的情况。
3. Bellman-Ford 算法：
   • Bellman-Ford 算法可以处理带有负权边的图，但时间复杂度为 (O(NM))。

代码实现（Dijkstra 算法）

以下是一个使用 Dijkstra 算法求解该问题的 Python 代码示例：

import heapq

while pq:
    current_dist, u = heapq.heappop(pq)
    if current_dist > dist[u]:
        continue
    for v, weight in graph[u]:
        distance = current_dist + weight
        if distance < dist[v]:
            dist[v] = distance
            heapq.heappush(pq, (distance, v))
return dist

index = 0
N = int(data[index])
index += 1
M = int(data[index])
index += 1

graph = [[] for _ in range(N)]
for _ in range(M):
    u = int(data[index]) - 1
    index += 1
    v = int(data[index]) - 1
    index += 1
    w = int(data[index])
    index += 1
    graph[u].append((v, w))
    graph[v].append((u, w))

s = int(data[index]) - 1
index += 1
t = int(data[index]) - 1

dist = dijkstra(graph, s)
print(dist[t])

if name == "main": main()

注意事项

1. 输入输出处理：
   • 在实际比赛中，输入输出处理需要高效，通常使用 sys.stdin.read 和 sys.stdout.write。
2. 图的数据结构：
   • 使用邻接表表示图，可以高效地遍历边的集合。
3. 算法选择：
   • 根据问题的具体要求和图的特点选择合适的算法。

总结

POJ 2449 是一个典型的最短路径问题，通过掌握 Dijkstra、Floyd-Warshall 或 Bellman-Ford 等算法，可以有效地解决此类问题。在实际编程中，需要注意细节处理和代码优化，以提高程序的运行效率。