Tiling,POJ,2506

题目描述：

Tiling（瓷砖铺设）问题是POJ（北京大学在线评测系统）上的一个经典问题，题目编号为2506。这个问题主要考察动态规划（Dynamic Programming, DP）的应用。

问题描述：

给定一个宽度为2的无限长条形区域，需要用1×2和2×1的瓷砖来铺设。现在要求计算用这些瓷砖铺设长度为n的区域的不同方法数。

输入：

一个整数n（1 ≤ n ≤ 1000），表示需要铺设的区域的长度。

输出：

输出一个整数，表示铺设长度为n的区域的不同方法数。

解题思路：

1. 状态定义：
   • 设dp[i]表示铺设长度为i的区域的不同方法数。
2. 状态转移：
   • 对于长度为i的区域，有两种情况：
     • 使用一个1×2的瓷砖铺设，剩下的部分长度为i-1，方法数为dp[i-1]。
     • 使用两个2×1的瓷砖铺设，剩下的部分长度为i-2，方法数为dp[i-2]。
   • 因此，状态转移方程为： [ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] ]
3. 初始条件：
   • dp[0] = 1（长度为0的区域只有一种铺设方法，即什么也不做）。
   • dp[1] = 1（长度为1的区域只能用一个1×2的瓷砖铺设）。
4. 求解过程：
   • 从dp[2]开始，根据状态转移方程依次计算到dp[n]。

代码实现：

#include #include

vector dp(n + 1);
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}

cout << dp[n] << endl;

return 0;

}

详细解释：

1. 输入处理：
   • 使用cin读取输入的整数n。
2. 动态规划数组初始化：
   • 定义一个大小为n+1的vector数组dp，用于存储每个长度的铺设方法数。
   • 初始化dp[0]和dp[1]为1。
3. 动态规划计算：
   • 使用一个循环从2遍历到n，根据状态转移方程dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]计算每个dp[i]的值。
4. 输出结果：
   • 使用cout输出dp[n]，即长度为n的区域的不同铺设方法数。

总结：

这个问题通过动态规划的方法可以高效地求解。关键在于正确地定义状态和状态转移方程，并注意初始化边界条件。代码实现简洁明了，时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)，适合处理题目给定的n的范围（1 ≤ n ≤ 1000）。