题目描述（LeetCode 494. Target Sum）：

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，数组 [1, 2, 3] 和 target = 3 可以构造出以下表达式：
  • 1 + 2 + 3 = 6
  • +1 - 2 + 3 = 2
  • +1 + 2 - 3 = 0
  • -1 + 2 + 3 = 4

LeetCode 493题 “Reverse Pairs” 是一个中等难度的题目，主要考察的是归并排序的应用以及如何处理逆序对的问题。下面我将详细解释题目的要求、解题思路以及具体的代码实现。

题目描述

给定一个整数数组 nums，返回数组中的逆序对的数量。逆序对的定义是：对于数组中的两个元素 nums[i] 和 nums[j]，如果满足 i < j 且 nums[i] > 2 * nums[j]，则 (nums[i], nums[j]) 是一个逆序对。

解题思路

这个问题可以通过暴力枚举来解决，但时间复杂度会达到 O(n^2)，对于大数据集来说效率太低。更好的方法是使用归并排序的思想，时间复杂度可以优化到 O(n log n)。

归并排序的过程中，当我们合并两个有序数组时，可以同时统计逆序对的数量。具体步骤如下：

1. 分割数组：将数组递归地分割成更小的数组，直到每个数组只有一个元素。
2. 合并数组：在合并两个有序数组的过程中，统计逆序对的数量。
3. 统计逆序对：在合并时，如果左数组的当前元素大于右数组的当前元素的2倍，那么左数组中当前元素及其后面的所有元素都与右数组的当前元素构成逆序对。

代码实现

以下是使用归并排序思想的 Python 代码实现：

class Solution: def reversePairs(self, nums): def mergeSort(l, r): if l >= r: return 0

        mid = (l + r) // 2
        count = mergeSort(l, mid) + mergeSort(mid + 1, r)

        # 统计逆序对
        j = mid + 1
        for i in range(l, mid + 1):
            while j <= r and nums[i] > 2 * nums[j]:
                j += 1
            count += j - (mid + 1)

        # 合并两个有序数组
        nums[l:r+1] = sorted(nums[l:r+1])
        return count

    return mergeSort(0, len(nums) - 1)

sol = Solution() print(sol.reversePairs([1, 3, 2, 3, 1])) # 输出: 2

详细解释

1. mergeSort 函数：
   • 这是一个递归函数，用于对数组进行归并排序并统计逆序对。
   • l 和 r 分别是当前子数组的左右边界。
   • 首先递归地对左右子数组进行排序并统计逆序对。
   • 然后在合并前，通过双指针方法统计逆序对的数量。
   • 最后合并两个有序子数组。
2. 统计逆序对：
   • 使用两个指针 i 和 j，i 遍历左子数组，j 遍历右子数组。
   • 如果 nums[i] > 2 * nums[j]，则 j 向右移动，直到不满足条件。
   • 此时，j - (mid + 1) 就是与 nums[i] 构成逆序对的右子数组元素的数量。
3. 合并数组：
   • 使用 Python 的内置 sorted 函数合并两个有序子数组。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)，归并排序的时间复杂度。
• 空间复杂度：O(n)，递归调用栈和临时数组的空间。

通过这种方法，我们能够高效地解决 Reverse Pairs 问题。希望这个详细的解释和代码实现对你有所帮助！如果有任何进一步的问题，欢迎继续提问。

LeetCode 492题 “Construct the Rectangle” 是一个数学问题，要求我们为一个给定的面积找到最接近的矩形尺寸（长和宽）。具体来说，我们需要找到一个矩形的长度 L 和宽度 W，使得 L * W = area，并且 L 和 W 的差值尽可能小。

题目描述

给定一个整数 area，找到三个整数 L 和 W，使得：

1. L * W = area
2. L >= W
3. L 和 W 的差值尽可能小

示例

输入: area = 4 输出: [2, 2] 解释: 2 * 2 = 4 且 2 - 2 = 0，差值最小。

输入: area = 37 输出: [37, 1] 解释: 37 * 1 = 37 且 37 - 1 = 36，这是唯一可能的组合。

解题思路

1. 从平方根开始：为了使 L 和 W 的差值尽可能小，我们可以从 sqrt(area) 开始向下查找。因为平方根处的值是最接近的两个因数。
2. 遍历因数：从 sqrt(area) 开始向下遍历，找到第一个能整除 area 的数，这个数作为宽度 W，对应的商作为长度 L。
3. 返回结果：返回 [L, W]。

代码实现

以下是 Python 的实现代码：

import math

for w in range(int(math.sqrt(area)), 0, -1):
    if area % w == 0:
        return [area // w, w]

print(constructRectangle(4)) # 输出: [2, 2] print(constructRectangle(37)) # 输出: [37, 1]

详细解释

1. 导入 math 库：用于计算平方根。
2. 遍历范围：range(int(math.sqrt(area)), 0, -1) 从 sqrt(area) 向下遍历到 1。
3. 判断整除：if area % w == 0 检查当前宽度 w 是否能整除 area。
4. 返回结果：如果找到符合条件的宽度 w，则返回 [area // w, w]，其中 area // w 是长度 L。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(sqrt(area))，因为我们最多遍历到 sqrt(area)。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。

这种方法高效且直观，能够很好地解决题目要求。希望这个解释对你有帮助！如果有其他问题，欢迎继续提问。

LeetCode 491题 “Increasing Subsequences” 是一个中等难度的题目，主要考察的是深度优先搜索（DFS）和回溯算法。题目要求找到给定数组中的所有递增子序列。

题目描述

给定一个整型数组，你的任务是找到所有的递增子序列，递增子序列的长度至少为2。

示例

输入: [4, 6, 7, 7] 输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]

解题思路

1. 深度优先搜索（DFS）：通过递归的方式遍历所有可能的子序列。
2. 回溯：在递归过程中，如果当前子序列不再满足递增条件，则回溯到上一步。
3. 去重：使用集合来避免重复的子序列。

详细步骤

1. 初始化：定义一个结果集 res 和一个临时路径 path。
2. 递归函数：定义一个递归函数 dfs(start)，从数组的 start 位置开始搜索。
3. 递归终止条件：当遍历到数组末尾时，检查 path 的长度是否大于1，如果是则加入结果集。
4. 递归逻辑：
   • 遍历从 start 到数组末尾的所有元素。
   • 如果当前元素可以加入 path（即当前元素大于 path 的最后一个元素或者 path 为空），则将其加入 path 并继续递归。
   • 递归结束后，回溯，即从 path 中移除当前元素。

代码实现

def findSubsequences(nums): def dfs(start, path): if len(path) > 1: res.append(path[:]) used = set() for i in range(start, len(nums)): if nums[i] in used: continue if not path or nums[i] >= path[-1]: used.add(nums[i]) dfs(i + 1, path + [nums[i]])

res = []
dfs(0, [])
return res

nums = [4, 6, 7, 7] print(findSubsequences(nums))

代码解释

1. findSubsequences 函数：主函数，初始化结果集 res 并调用 dfs 函数。
2. dfs 函数：
   • start：当前开始搜索的位置。
   • path：当前递增子序列。
   • used：用于去重的集合，避免在同一层递归中使用相同的元素。
3. 递归逻辑：
   • 遍历从 start 到数组末尾的所有元素。
   • 如果当前元素未在当前层使用过，并且可以加入 path，则加入 path 并继续递归。
   • 递归结束后，回溯。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(2^N)，在最坏情况下，每个元素都有两种选择（加入或不加入子序列）。
• 空间复杂度：O(N)，递归栈的深度最多为 N。

通过上述步骤和代码实现，可以有效地找到数组中的所有递增子序列。希望这个详细的解答对你有所帮助！如果有任何进一步的问题，欢迎继续提问。

题目描述：

由空地和墙组成的迷宫中有一个球。球可以向上（u）、下（d）、左（l）或右（r）四个方向滚动，但在遇到墙壁前不会停止滚动。当球停下时，可以选择下一个方向。迷宫中有一个终点，当球到达终点时，游戏结束。

给定迷宫的二维网格，其中 1 表示墙壁， 表示空地，以及球的起始位置和终点位置，请判断球能否到达终点。

示例：

输入 1: 迷宫由以下二维数组表示

解释: 球可以按照如下路径从起点滚到终点： (0, 4) -> (0, 3) -> (1, 3) -> (1, 2) -> (1, 1) -> (1, 0) -> (2, 0) -> (2, 1) -> (2, 2) -> (3, 2) -> (4, 2) -> (4, 3) -> (4, 4)

解题思路：

1. 深度优先搜索（DFS）：
   • 从起始位置开始，尝试四个方向滚动。
   • 每个方向上，球会一直滚动直到遇到墙壁或边界。
   • 到达新位置后，递归地继续搜索。
   • 如果到达终点，返回 true。
   • 使用一个集合记录已经访问过的位置，避免重复搜索。
2. 广度优先搜索（BFS）：
   • 使用队列存储待访问的位置。
   • 从起始位置开始，将四个方向上的可行位置加入队列。
   • 每次从队列中取出一个位置，检查是否到达终点。
   • 如果到达终点，返回 true。
   • 否则，继续将新位置加入队列。

代码实现（DFS）：

def hasPath(maze, start, destination): def dfs(maze, start, destination, visited): if start == destination: return True visited.add(start) directions = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)] for dx, dy in directions: x, y = start while 0 <= x + dx < len(maze) and 0 <= y + dy < len(maze[0]) and maze[x + dx][y + dy] == 0: x += dx y += dy if (x, y) not in visited and dfs(maze, (x, y), destination, visited): return True return False

visited = set()
return dfs(maze, tuple(start), tuple(destination), visited)

print(hasPath(maze, start, destination)) # 输出: True

代码实现（BFS）：

from collections import deque

while queue:
    x, y = queue.popleft()
    if (x, y) == tuple(destination):
        return True
    for dx, dy in directions:
        nx, ny = x, y
        while 0 <= nx + dx < len(maze) and 0 <= ny + dy < len(maze[0]) and maze[nx + dx][ny + dy] == 0:
            nx += dx
            ny += dy
        if (nx, ny) not in visited:
            visited.add((nx, ny))
            queue.append((nx, ny))
return False

print(hasPath(maze, start, destination)) # 输出: True

总结：

• DFS 适合于路径搜索，但可能会遇到深度很大的情况，导致栈溢出。
• BFS 适合于寻找最短路径，且不会因为深度过大而出现问题，但需要更多的空间来存储队列。

根据具体问题的需求选择合适的算法。在这个迷宫问题中，两种方法都可以有效解决。

好的，我们来详细讨论一下 LeetCode 上的第 489 题：Robot Room Cleaner。

题目描述

这道题要求我们模拟一个机器人在一个未知的房间内进行清洁的过程。房间的布局是未知的，机器人只能通过有限的方向移动（通常是上、下、左、右），并且机器人不能回到已经清洁过的位置。

机器人有一个 clean 方法用来清洁当前位置，以及一个 move 方法用来移动到下一个位置。如果移动失败（比如遇到了墙壁），move 方法会返回 false。机器人还有一个 turnLeft 和 turnRight 方法用来改变方向。

解题思路

这道题可以使用深度优先搜索（DFS）来解决这个问题。关键点在于如何避免重复访问已经清洁过的位置，以及如何确保机器人能够回到出发点。

1. 方向控制：定义一个方向数组，比如 [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]，分别代表上、右、下、左四个方向。
2. 状态记录：使用一个集合来记录已经清洁过的位置。
3. 回溯：在每次移动到一个新位置后，进行清洁，并递归地探索其他方向。探索完所有方向后，需要回到上一个位置。

代码实现

以下是一个 Python 示例代码，假设机器人类已经定义好了 clean, move, turnLeft, turnRight 方法。

class Solution: def cleanRoom(self, robot): def go_back(): robot.turnRight() robot.turnRight() robot.move() robot.turnRight() robot.turnRight()

    def dfs(x, y, d):
        robot.clean()
        visited.add((x, y))

        for i in range(4):
            new_d = (d + i) % 4
            new_x, new_y = x + directions[new_d][0], y + directions[new_d][1]

            if (new_x, new_y) not in visited and robot.move():
                dfs(new_x, new_y, new_d)
                go_back()

            robot.turnRight()

    directions = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]
    visited = set()
    dfs(0, 0, 0)

def move(self):
    pass

def turnLeft(self):
    pass

def turnRight(self):
    pass

详细解释

1. go_back 函数：这个函数用于让机器人回到上一个位置。具体操作是先转180度，然后移动一步，再转回原来的方向。
2. dfs 函数：这是一个深度优先搜索函数，参数 (x, y, d) 分别表示当前的位置和方向。
   • 首先清洁当前位置，并将当前位置加入 visited 集合。
   • 然后尝试四个方向（通过循环和方向数组 directions 实现）。
   • 如果新位置没有被访问过且可以移动，递归调用 dfs。
   • 每次尝试新方向前，先右转，以便下一次循环时尝试下一个方向。
3. 主函数：初始化方向数组和访问集合，从 (0, 0, 0)（即起始位置和向上方向）开始进行深度优先搜索。

注意事项

• 机器人类的具体实现细节（如 clean, move, turnLeft, turnRight 方法）需要根据题目提供的接口来调整。
• 这道题的关键在于理解和实现回溯过程，确保机器人能够回到出发点。

希望这个详细的解答能帮助你理解并解决这道题目。如果有更多问题，欢迎继续提问！

《Zuma Game》（祖玛游戏）是 LeetCode 上的第 488 题，这是一个中等难度的题目，主要考察的是深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）的算法应用。

题目描述

在一个二维的平面中，有一些彩球按顺序排列成一行，你需要通过射出彩球来消除这些彩球。当三个或更多相同颜色的彩球相连时，这些彩球会被消除。你需要找到消除所有彩球所需的最少射击次数。

输入：

• board：一个字符串，表示初始彩球的排列。
• hand：一个字符串，表示你手中持有的彩球。

输出：

• 返回消除所有彩球所需的最少射击次数。如果无法消除所有彩球，则返回 -1。

示例

输入：board = "WRRBBW", hand = "RB" 输出：-1 解释：无法通过手中的彩球消除所有彩球。

1. 射击手中的 'R' 到位置 3，使得 "WWRRBBWW" 变为 "WWRRRBBWW"。
2. 射击手中的 'B' 到位置 6，使得 "WWRRRBBWW" 变为 "WWRRRBBBW"。 这时，三个 'R' 和三个 'B' 相连，被消除，剩下的 "WWW" 也会被自动消除。

   解题思路

深度优先搜索（DFS）：

• 从左到右遍历 board，找到第一个可以插入的位置。
• 尝试将手中的彩球插入到该位置，并递归地进行下一步搜索。
• 每次插入后，检查是否有连续的三个或更多相同颜色的彩球，如果有则消除它们，并继续递归搜索。
• 记录每次搜索的结果，找到最少射击次数。