《Highways》是POJ（北京大学在线评测系统）上的一个经典图论问题，题目编号为1751。这个问题主要考察的是图的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）算法，常见的解决方法是使用Kruskal算法或Prim算法。
题目描述
题目大意是：给定一些城市和它们之间的潜在高速公路建设成本，要求构建一个高速公路系统，使得所有城市都能互相连通，并且建设的总成本最小。
输入
- 第一行包含两个整数N和M，分别表示城市的数量和潜在高速公路的数量。
- 接下来的M行，每行包含三个整数X, Y和C，表示在城市X和城市Y之间建设高速公路的成本为C。
输出
- 输出最小生成树的总成本。
解决思路
-
Kruskal算法：
- 将所有边按权重（成本）从小到大排序。
- 初始化一个并查集，用于判断两个城市是否已经连通。
- 遍历所有边，如果当前边的两个城市未连通，则将它们连接，并累加当前边的权重。
- 最终累加的权重即为最小生成树的总成本。
-
Prim算法：
- 选择一个起点城市，将其加入生成树集合。
- 初始化一个优先队列（或最小堆），用于存储当前生成树集合到其他城市的最小边。
- 不断从优先队列中取出最小边，如果该边连接的城市未在生成树集合中，则将其加入，并更新优先队列。
- 最终累加的权重即为最小生成树的总成本。
代码示例（Kruskal算法）
#include
using namespace std;
struct Edge { int u, v, cost; bool operator<(const Edge& e) const { return cost < e.cost; } };
int find(int x, vector
void unionSets(int x, int y, vector
int main() {
int N, M;
cin >> N >> M;
vector
vector parent(N + 1);
vector rank(N + 1, 0);
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
parent[i] = i;
}
int mstCost = 0;
int edgesUsed = 0;
for (const auto& edge : edges) {
if (find(edge.u, parent) != find(edge.v, parent)) {
unionSets(edge.u, edge.v, parent, rank);
mstCost += edge.cost;
edgesUsed++;
if (edgesUsed == N - 1) {
break;
}
}
}
cout << mstCost << endl;
return 0; }
代码示例（Prim算法）
#include
using namespace std;
struct Edge { int to, cost; bool operator>(const Edge& e) const { return cost > e.cost; } };
int main() {
int N, M;
cin >> N >> M;
vector
vector minEdge(N + 1, INT_MAX);
vector inMST(N + 1, false);
priority_queue, greater> pq;
// Start from node 1
minEdge[1] = 0;
pq.push({1, 0});
int mstCost = 0;
while (!pq.empty()) {
Edge current = pq.top();
pq.pop();
int u = current.to;
if (inMST[u]) continue;
inMST[u] = true;
mstCost += current.cost;
for (const auto& edge : graph[u]) {
int v = edge.to;
int cost = edge.cost;
if (!inMST[v] && cost < minEdge[v]) {
minEdge[v] = cost;
pq.push({v, cost});
}
}
}
cout << mstCost << endl;
return 0; }
注意事项
- 输入输出格式：确保按照题目要求的格式进行输入输出。
- 大数据处理：对于大规模数据，注意优化算法的时间和空间复杂度。
- 边界条件：处理特殊情况，如所有城市已经连通或没有任何边的情况。
通过以上代码和思路，可以有效地解决《Highways》这一题目。选择合适的算法和数据结构是关键。
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