题目描述：Agri-Net (POJ 1258)
农夫约翰的农场由N (2 <= N <= 100) 个田地组成，这些田地通过M (1 <= M <= 10,000) 条双向的小路连接。每条小路有一个正整数的长度 (1 <= length <= 1,000,000)。农夫约翰希望所有田地都能通过小路直接或间接相连，以便于管理和运输。现在他希望找到一种方案，使得所有田地连通，并且总的小路长度最短。
输入格式：
第一行包含一个整数N，表示田地的数量。
接下来N行，每行包含N个整数，其中第i行的第j个整数表示田地i和田地j之间小路的长度。如果田地i和田地j之间没有直接的小路连接，则该整数为0。
输出格式：
输出一个整数，表示所有田地连通所需的最短小路总长度。
解题思路：
这是一个经典的最小生成树问题，可以使用Prim算法或Kruskal算法来解决。
Prim算法
-
初始化：
- 选择任意一个田地作为起点，将其加入生成树集合。
- 初始化距离数组，记录每个田地到生成树集合的最短距离。
-
迭代：
- 在未加入生成树的田地中，选择距离生成树集合最近的田地，将其加入生成树集合。
- 更新其他未加入生成树的田地到生成树集合的最短距离。
-
终止：
- 当所有田地都加入生成树集合时，算法结束。
Kruskal算法
-
初始化：
- 将所有小路按长度从小到大排序。
-
迭代：
- 从小路列表中依次选择一条小路，检查其连接的两个田地是否已经在同一连通分量中。
- 如果不在同一连通分量中，则将这条小路加入生成树，并将两个田地所在的连通分量合并。
-
终止：
- 当生成树包含N-1条边时，算法结束。
代码实现（Prim算法）
#include
const int MAX_N = 100; int N; int graph[MAX_N][MAX_N]; bool inMST[MAX_N]; int minEdge[MAX_N];
int prim() { fill(minEdge, minEdge + N, INT_MAX); fill(inMST, inMST + N, false); minEdge[0] = 0; int totalWeight = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i) {
int u = -1;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (!inMST[j] && (u == -1 || minEdge[j] < minEdge[u])) {
u = j;
}
}
inMST[u] = true;
totalWeight += minEdge[u];
for (int v = 0; v < N; ++v) {
if (graph[u][v] && !inMST[v] && graph[u][v] < minEdge[v]) {
minEdge[v] = graph[u][v];
}
}
}
return totalWeight;}
int main() { cin >> N; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { cin >> graph[i][j]; } }
cout << prim() << endl;
return 0;}
代码实现（Kruskal算法）
#include
struct Edge { int u, v, weight; bool operator<(const Edge& other) const { return weight < other.weight; } };
int parent[MAX_N];
int find(int x) { if (parent[x] != x) { parent[x] = find(parent[x]); } return parent[x]; }
void unionSets(int x, int y) { int rootX = find(x); int rootY = find(y); parent[rootX] = rootY; }
int kruskal(vector
int totalWeight = 0;
int numEdges = 0;
for (const Edge& edge : edges) {
if (find(edge.u) != find(edge.v)) {
unionSets(edge.u, edge.v);
totalWeight += edge.weight;
numEdges++;
if (numEdges == N - 1) break;
}
}
return totalWeight;}
int main() {
cin >> N;
vector
cout << kruskal(edges) << endl;
return 0;}
总结
- Prim算法适用于稠密图，时间复杂度为O(N^2)。
- Kruskal算法适用于稀疏图，时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
根据题目中N和M的范围，两种算法都可以在规定时间内完成。选择哪种算法可以根据具体情况进行优化。
希望这个详细的解答能帮助你理解和解决Agri-Net问题。如果有任何进一步的问题，欢迎继续提问！
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